Φυσικοί Αριθμοί

2- Να εκτελεστούν οι προσθέσεις και να δοθεί το αποτέλεσμα.

Α.

Β.

3- Να υπολογιστούν οι αριθμητικές παραστάσεις που ακολουθούν.

Α.

Β.

Γ.

4- Να υπολογισθούν τα αθροίσματα.

Α.

Β.

\(  \begin {array} {rrr}
\\[-1.5ex]   \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} {   1.454 + 532 } & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} {   2.528 + 367 } & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} {   3.234 + 498 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} {   4.418 + 252 }  & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} {   5.128 + 851 } & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} {   6.939 + 457 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { vii) }} \color {SteelBlue} {   8.233 + 652 } & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { viii) }} \color {SteelBlue} {   9.475 + 322 }    & \hspace {40 mm}
\color {#ff3333} { \textit { ix) }} \color {SteelBlue} {   7.126 + 444 }  \\[3ex] \end {array} \)

5- Να υπολογιστούν τα αθροίσματα αφού πρώτα γίνει της προσεταιριστικής ιδιότητας με σκοπό την εκτέλεση λιγότερο δύσκολων πράξεων.

Υποδειγματική Λύση

\( \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} { (51 + 66) + 34 } = \\[1.5ex] = 51 + (66 + 34) = \\[1.5ex] = 51 + 100 = \\[1.5ex] = 151  \)

https://www.math-drills.com/addition.php (10 – Multi-Digit Addition with SOME regrouping και εξής)

https://www.math4childrenplus.com/grades/6th-grade/worksheets/

2- Να υπολογιστεί το αποτέλεσμα μετά την εκτέλεση των αφαιρέσεων που ακολουθούν.

Α.

Β.

Γ.

3- Να υπολογιστούν τα αποτελέσματα.

Α.

Β.

4- Να δοθούν τα αποτελέσματα.

Α.

5- Να δοθούν τα αποτελέσματα.

Α.

2- Στις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις να εφαρμοστεί η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση,  στη συνέχεια να εκτελεστούν οι πράξεις και να δοθούν τα αποτελέσματα.

Α.

\(  \begin {array} {llll}
\\[-1.5ex] \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} {   35 \cdot 2 + 35 \cdot 8 } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} {   45 \cdot 3 + 45 \cdot 2 }  \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} {   20 \cdot 9 + 20 \cdot 8 } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} {   11 \cdot 7 + 11 \cdot 4 }    \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} {   56 \cdot 8 + 2 \cdot 56 } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} {  18  \cdot  3  +  2  \cdot 18  }  \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { vii) }} \color {SteelBlue} {  64   \cdot  4 +  1 \cdot 64  } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { viii) }} \color {SteelBlue} {  96   \cdot 3  + 7  \cdot  96  }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { ix) }} \color {SteelBlue} {  15   \cdot 6  +  9 \cdot  15 } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { x) }} \color {SteelBlue} {   12  \cdot  6  +  6  \cdot 12  }  \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { xi) }} \color {SteelBlue} {  128 \cdot 4 + 256 \cdot 4 } &  \hspace {75mm}
\color {#ff3333} { \textit { xii) }} \color {SteelBlue} { 235 \cdot 5 + 235 \cdot 5 }
\end {array}
\)

B.
\(  \begin {array} {llll}
\\[-1.5ex] \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} {   90 \cdot 10 + 90 \cdot 5 } &  \hspace {72mm}
\color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} {   88 \cdot 16 + 14 \cdot 88 }  \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} {   75 \cdot 21 + 75 \cdot 9 } &  \hspace {72mm}
\color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} {   99 \cdot 99 + 99 \cdot 11 }    \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} {   67 \cdot 12 + 67 \cdot 8 } &  \hspace {72mm}
\color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} {   105 \cdot 14 + 26 \cdot 105 }    \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { vii) }} \color {SteelBlue} {   100 \cdot 6 + 16 \cdot 900 }  &  \hspace {72mm}
\color {#ff3333} { \textit { viii) }} \color {SteelBlue} {   0 \cdot 948 + 1 \cdot 948 }
\end {array}
\)

Γ.

Υποδειγματική Λύση

\(  \color {#ff3333} { \textit { Α-i) }} \color {SteelBlue} { 35 \cdot 2 + 35 \cdot 8 } = \\[1.5ex] \hspace {14mm}  = 35 \cdot (2 + 8) = \\[1.5ex]  \hspace {14mm} = 35 \cdot 10 = \\[1.5ex]  \hspace {14mm} = 350  \)

Δ.

Υποδειγματική Λύση

\(  \color {#ff3333} { \textit { Δ-i) }} \color {SteelBlue} { (7 + 2) \cdot 12 } = \\[1.5ex] \hspace {7mm} = 7 \cdot 12 + 2 \cdot 12 = \\[1.5ex] \hspace {7mm} = 84 + 24 = \\[1.5ex] \hspace {7mm} = 108  \)

3. Στις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις να επιλεγούν αριθμοί (ένας ή περισσότεροι) οι οποίοι να αναλυθούν σε γινόμενα τέτοια που να σας οδηγήσουν σε εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας και λιγότερο δύσκολο υπολογισμό των αποτελεσμάτων.

Υποδειγματική Λύση

\(  \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} { 96 \cdot 11 + 2 \cdot 12 } = \\[1.5ex] \hspace {12mm} = 8 \cdot 12 \cdot 11 + 2 \cdot 12 = \\[1.5ex] \hspace {12mm} = 12 \cdot ( 8 \cdot 11 + 2 ) = \\[1.5ex] \hspace {12mm} = 12 \cdot ( 88 + 2) = \\[1.5ex] \hspace {12mm} = 12 \cdot 90 = \\[1.5ex] \hspace {12mm} = 1080 \)

4. Να υπολογιστούν οι αριθμητικές παραστάσεις που ακολουθούν.

Α.

\(  \begin {array} {llll}
\\[-1.5ex] \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} {   (5 + 7) \cdot 12 – (12 -9) \cdot 4 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} { (13 – 7) \cdot 15 + (31 – 14) \cdot 2  }     \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} { (83 – 47) \cdot 15 – (67 – 43) \cdot 15 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} { (91 – 86) \cdot 16 + (63 – 58) \cdot 14}    \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} {   (21 + 11 + 12)  \cdot 4 -(15 – 8) \cdot 8 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} {   (47 + 13 – 18) \cdot 8 + (12 – 6 + 18 – 9 – 11) \cdot 16}   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { vii) }} \color {SteelBlue} {   4 \cdot (47 + 9 – 14) – (29 + 14 + 37 – 22) \cdot 2 }  \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { viii) }} \color {SteelBlue} { (18 – 7 + 4 – 3) \cdot 5 + 8 \cdot (23 – 9 – 5 – 4)   }    \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { ix) }} \color {SteelBlue} {   (35 + 8 – 11 – 4) \cdot 10 – ( 12 + 13 + 14 + 6) \cdot 4 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { x) }} \color {SteelBlue} {   50 \cdot (19 + 26 + 15) – (118 + 92 + 57 + 33) \cdot 10 }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { xi) }} \color {SteelBlue} { (4 \cdot 12 + 12) \cdot 9 + (8 \cdot 9 + 60 – 17 ) \cdot 4   }   \\[3ex] \color {#ff3333} { \textit { xii) }} \color {SteelBlue} { 3 \cdot (7 \cdot 7 – 6 \cdot 6) – (2 \cdot 11 + 7 \cdot 3) \cdot 1 }    \\[3ex] \end {array}\\[3ex]  \)

Υπολογισμοί

https://www.math-drills.com/multiplication2.php

https://www.math-drills.com/multiplication2/multiplication_0201_001.php

https://www.math4childrenplus.com/topics/multiplication/

Επιμεριστική Ιδιότητα

https://www.math-drills.com/multiplication2/distributive_property_0201_all.php

https://www.math-drills.com/multiplication2/distributive_property_0301_001.php

2- Παρακάτω, να βρεθεί και να επιβεβαιωθεί πηλίκο και υπόλοιπο.

A.

\(    \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 4 : 3 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 5 : 2 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 5 : 3 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 6 : 4 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 7 : 3 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 7 : 5 }   & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 8 : 7 }     & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 8 : 5 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 8 : 3 }    & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue}  { 9 : 7 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 9 : 2 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 8 : 6 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 7 : 4 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 6 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 5 : 4 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {ιστ) } } \color {SteelBlue} { 9 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xvi) } } \color {SteelBlue} { 3 : 2 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xvii) } } \color {SteelBlue} { 7 : 2 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xviii) } } \color {SteelBlue} { 9 : 4 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xix) } } \color {SteelBlue} { 9 : 2 }
\end {array}  \)

Β.

\(   \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 14 : 3 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 18 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 16 : 6 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 12 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 15 : 2 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 20 : 3 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 20 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 19 : 3 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 0 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue} { 15 : 4 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 14 : 8 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 12 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 16 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 18 : 4 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 16 : 9 }
\end {array}  \)

Γ.

\( \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 14 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 18 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 16 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 12 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 15 : 8 }   \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 20 : 6 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 20 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 19 : 2 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 0 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue} { 15 : 6 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 14 : 4 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 12 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 16 : 8 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 18 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 6 : 2 }
\end {array}   \)

Δ.

Ε.

\(  \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 33 : 10 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 36 : 11 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 38 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 35 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 34 : 3 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 44 : 6  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 42 : 8 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 42 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 45 : 4  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue} { 45: 12  }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 32: 10 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 35 : 9  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 32 : 6  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 36 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 40 : 13 }
\end {array}   \)

ΣΤ.

\( \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 58 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 57 : 7 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 56 : 5 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 56 : 9 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 48 : 4 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 44 : 5  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 55 : 10 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 45 : 8 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 46 : 7  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue}  { 48: 5 }  \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 52: 10 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 52 : 6  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 32 : 3  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 56 : 11 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 58 : 11 }
\end {array}  \\[1.5ex]   \)

3- Να γίνουν οι διαιρέσεις καθώς και οι δοκιμές τους.

\( \begin {array} {rrrrr}
\\[-1.5ex]    \color {#ff3333} { \textit {i) } } \color {SteelBlue} { 575 : 23 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {ii) } } \color {SteelBlue} { 1.000 : 99 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iii) } } \color {SteelBlue} { 1.024 : 16  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {iv) } } \color {SteelBlue} { 2.716 : 97 }  & \hspace{25mm}    \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {v) } } \color {SteelBlue} { 2.241 : 83 } & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vi) } } \color {SteelBlue} { 2.079 : 27    }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {vii) } } \color {SteelBlue} { 2.816 : 44  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {viii) } } \color {SteelBlue} { 6.540 : 124  }  & \hspace{25mm}    \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {ix) } } \color {SteelBlue} { 8.722 : 98  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {x) } } \color {SteelBlue}  { 1.998 : 37  } & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xi) } } \color {SteelBlue} { 1.870 : 34  }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xii) } } \color {SteelBlue} { 1.547 : 91   }  & \hspace{25mm}    \\[1.5ex] \color {#ff3333} { \textit {xiii) } } \color {SteelBlue} { 1.587 : 23   }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xiv) } } \color {SteelBlue} { 3.212 : 73 }  & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xv) } } \color {SteelBlue} { 8.075 : 85  } & \hspace{25mm}
\color {#ff3333} { \textit {xvi) } } \color {SteelBlue} { 1.326 : 17 }
\end {array}  \\[1.5ex]   \)

4- Μελετήστε προσεκτικά τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις. Υπολογίστε τα αποτελέσματα αφού πρώτα αποφασίσετε για την προτεραιότητα (σωστή σειρά εκτέλεσης) των πράξεων που πρέπει να γίνουν.

Α.

Β.

​

Άσκηση 2

Των παρακάτω αριθμών να βρεθούν και να γραφούν τα πολλαπλάσια. Οι υπολογισμοί σταματούν όταν βρεθεί το πρώτο (ελάχιστο) κοινό πολλαπλάσιο.

Υπόδειξη: Να εκτελεστούν οι λιγότεροι δυνατοί υπολογισμοί.

Άσκηση 2-Ε.ix Υποδειγματική Επίλυση

Ο πίνακας που ακολουθεί υπολογίζει τα πολλαπλάσια των αριθμών που δόθηκαν. Η προσέγγιση στο τελικό αποτέλεσμα γίνεται, υπολογίζοντας κάθε φορά, όσα πολλαπλάσια του ενός αριθμού χρειάζονται, ώστε, το τελευταίο απ’ αυτά μόλις να ξεπερνά το (στην αμέσως προηγούμενη φάση) υπολογισμένο πολλαπλάσιο του άλλου αριθμού. Η διαδικασία ξεκινά με τον μεγαλύτερο των δύο αριθμών δηλ. το 14.

Τελικό συμπέρασμα, πρώτο κοινό πολλαπλάσιο -άρα και  ελάχιστο-  των αριθμών 14 και 3 το 42 ή με άλλα λόγια,

ΕΚΠ (14, 3) = 42

Άσκηση 3

Να βρεθεί με όποιο τρόπο θεωρείται αποδοτικότερο το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών.

Άσκηση 3-Α.i Υποδειγματική Επίλυση

Δεδομένα

Οι αριθμοί 12 και 15

Ζητούμενο

Το ΕΚΠ των αριθμών 12 και 15

Ε Π Ι Λ Υ Σ Η

Αξιοποιώντας την πρόταση,

“Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του”

εργάζομαι ως εξής:

Συγκρίνω τους αριθμούς που δόθηκαν (12 και 15) και επιλέγω τον μεγαλύτερο δηλ. το 15, ο οποίος είναι και πολλαπλάσιο του εαυτού του (εφ’ όσον 15×1 = 15).

Ρωτώ: Το 12 διαιρεί τον 15;

Απαντώ: Φυσικά και όχι.

Συνεχίζω με το επόμενο πολλαπλάσιο του 15 δηλ. τον αριθμό 30 (είναι 15×2 = 30). To 12 επίσης δεν διαιρεί το 30.

Προχωρώ -τρίτη κατά σειρά προσπάθεια- και 15×3 = 45 το νέο πολλαπλάσιο του 15.

Το 45 δεν διαιρείται από το 12 (αφού ισχύει 45:12 = 3 και υπόλοιπο διαίρεσης = 9 > 0).

Η διαδικασία πλέον ολοκληρώνεται με το 60 (15×4 = 60) εφ’ όσον είναι 60:12 = 5 και υπόλοιπο διαίρεσης = 0.

Ο αριθμός 60 διαιρείται λοιπόν με το 12 και άρα αποτελεί πολλαπλάσιό του. Επιπλέον είναι το πρώτο (άρα το ελάχιστο) πολλαπλάσιο του 12 που συναντάται και ως πολλαπλάσιο του 15.

Συμπέρασμα μετά απ’ όλα αυτά,

ΕΚΠ (12, 15) = 60

Ερώτηση κατανόησης

Θα καταλήγατε στο ίδιο αποτέλεσμα υλοποιώντας τα όσα παραπάνω περιγράφονται αν ξεκινούσατε με το 12 (τον μικρότερο των δύο αριθμών);

Αν ναί ποια η διαφορά της πρώτης προσέγγισης της λύσης του προβλήματος σε σχέση με την δεύτερη; Αν όχι γιατί;

Άσκηση 3-Γ.ii Υποδειγματική Επίλυση

Ζητείται το ΕΚΠ των αριθμών 17 και 4.

Ε Π Ι Λ Υ Σ Η

Σκέψεις, ενέργειες και αποτελέσματα πράξεων καταγράφονται στους πίνακες που ακολουθούν.

Αρχικά,

Για την συνέχεια,

Τελικό αποτέλεσμα,

ΕΚΠ (17, 4) = 68

Άσκηση 4

Να βρεθεί το ΕΚΠ των αριθμών που ακολουθούν, αφού πρώτα καθ’ ένας απ’ αυτούς αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Απαντήσεις

Άσκηση 2

Αξιοποιώντας την πρόταση,

“Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του“

να βρεθεί ποιοι από τους αριθμούς που αναφέρονται σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις διαιρούνται:

Οι αριθμοί που θα δοθούν ως αποτέλεσμα να γραφούν διατεταγμένοι κατ’ αύξουσα τάξη.

Άσκηση 2-Α Υποδειγματική Λύση

Ξεκινώ αναγράφοντας τα πολλαπλάσια του 4. Ο μεγαλύτερος των αριθμών που πρέπει να ελέγξω αν διαιρείται με το 4 θα ορίσει και το όριο μετά το οποίο είναι ανώφελο να συνεχίζω να υπολογίζω πολλαπλάσια. Έχουμε λοιπόν,

Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, 12, 12, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

Μια σύγκριση μεταξύ των αριθμών που μόλις βρήκα και των αριθμών που δίνονται ως υποψήφιοι διαιρέτες του 4 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι,

ο αριθμός 4 διαιρεί με τη σειρά τους αριθμούς:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 28, 32, 36 και 40.

Άσκηση 3

Να εντοπιστούν και να γραφούν με σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο (αύξουσα) όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται:

Να αιτιολογηθεί λεκτικά η κάθε απάντηση και κατόπιν, να εκτελεστεί η αντίστροφη της διαίρεσης πράξη που θα επιβεβαιώνει την απάντησή σας.

Υποδειγματική Λύση

Άσκηση 4

Των αριθμών που ακολουθούν να βρεθούν όλοι οι κοινοί διαιρέτες και μεταξύ αυτών να επιλεγεί ο μεγαλύτερος (μέγιστος). Ελέγξτε σε κάθε περίπτωση αν πρόκειται για ζευγάρια πρώτων μεταξύ τους αριθμών.

Ομοίως με προηγούμενα.

Υποδειγματική Λύση

Άσκηση 5

Οι παρακάτω αριθμοί να αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Υποδειγματική Λύση

Άσκηση 6

Οι παρακάτω αριθμοί να αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τ’ αποτελέσματα της ανάλυσης να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους (ΜΚΔ).

Απάντηση

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΕΠΙΠΕΔΟ 1 – Α‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ &

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ & ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ &

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ  ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ 

Σχολείο: ________________________________    Ημερομηνία: _______________

Ονοματεπώνυμο: ________________________________ Τμήμα ____________

Άσκηση 1- Να εντοπιστούν όλοι οι αριθμοί που δεν διαιρούνται

Α. με το 2

1. \(   117, 120, 342, 230  \)
2. \(   105, 206, 108, 306  \)
3. \(   310, 157, 462, 160  \)
4. \(   60, 26, 23, 42  \)
5. \(   30, 22, 16, 13  \)
6. \(   84, 34, 31, 58  \)
7. \(   382, 570, 193, 196  \)
8. \(  66, 122, 180, 63  \)

Β. με το 3

1. \(   561, 364, 846, 564  \)
2. \(   310, 157, 462, 160  \)
3. \(   711, 850, 633, 717  \)
4. \(   60, 26, 23, 42  \)
5. \(   30, 22, 16, 13  \)
6. \(   84, 34, 31, 58  \)
7. \(   382, 570, 193, 196  \)
8. \(   66, 122, 180, 63  \)

Γ. με το 5

1. \(   8.920, 4.120, 5.285, 9.896   \)
2. \(   3.525, 7.040, 2.185, 2.442   \)
3. \(   8.758, 3.005, 8.915, 3.695  \)
4. \(   3.340, 1.540, 2.485, 2.543   \)
5. \(   2.363, 5.235, 4.145, 4.240  \)
6. \(   9.030, 8.000, 5.445, 1.238  \)
7. \(   1.269, 5.550, 4.065, 5.165  \)
8. \(   7.871, 9.595, 3.745, 4.480  \)

Δ. με το 9

1. \(   477, 297, 216, 991 \)
2. \(   153, 981, 909, 919  \)
3. \(   153, 234, 937, 675  \)
4. \(   343, 756, 927, 891  \)
5. \(   216, 783, 594, 928  \)
6. \(   504, 279, 307, 432  \)
7. \(   423, 801, 676, 936  \)
8. \(   396, 684, 567, 388 \)

Άσκηση 2- Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών που ακολουθούν:

Α.

1. \( 18, 24  \)
2. \(   45, 12  \)
3. \(  55, 20  \)
4. \(  17, 9  \)
5. \(  48, 36  \)
6. \(   72, 8  \)
7. \(  72, 44 \)
8. \(  76, 52  \)
9. \(  10, 40  \)
10. \(   52, 20  \)
11. \(  1.024, 128 \)
12. \(   3, 11  \)

Β.

1. \(  16, 24  \)
2. \(  16, 56  \)
3. \(   56, 96  \)
4. \( 54, 66  \)
5. \(   9, 6  \)
6. \(   35, 10  \)
7. \(  36, 63  \)
8. \(   84, 24  \)
9. \(   63, 21  \)
10. \(   75, 45  \)
11. \(   53.387, 0  \)
12. \(  15, 24, 27  \)

Άσκηση 3- Οι παρακάτω αριθμοί να αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

A.

1. \( 108  \)
2. \( 243  \)
3. \( 360  \)
4. \( 72  \)
5. \( 144  \)
6. \( 200  \)
7. \( 224  \)
8. \( 216 \)
9. \( 392  \)
10. \( 324  \)