Ρητοί Αριθμοί

Προτάσεις  

Ο μεγαλύτερος από δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα.

Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει την μικρότερη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα.

Το μηδέν είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό και μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθμό.

Άσκηση 2

Να υλοποιηθούν όσα περιγράφονται σε κάθε μία από τις παρακάτω ομάδες ασκήσεων.

Κανόνες της πρόσθεσης των ρητών αριθμών.

Α) Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, 

προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και

στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους.

Β) Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, 

αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη τη μικρότερη απόλυτη τιμή και

στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Άσκηση 1

Να  εκτελεστούν αναλυτικά οι πράξεις και να δοθούν τα αποτελέσματα.

2- Να  εκτελεστούν οι προσθέσεις μεταξύ των ρητών αριθμών που ακολουθούν.

Ενδεικτικές Λύσεις

3- Να εκτελεστούν οι πράξεις και να δοθούν τα αποτελέσματα.

Υποδειγματική Λύση

4- Βρείτε τα αποτελέσματα.

5- Υπολογίστε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις και δώστε το αποτέλεσμα σε μορφή κλάσματος με την απλούστερη μορφή.

Επιμεριστική Ιδιότητα του Πολλαπλασιασμού

ως προς την πρόσθεση:                    α · (β + γ) = α · β + α · γ

ως προς την αφαίρεση:                   α · (β – γ) = α · β – α · γ

Άσκηση 2

Να υπολογιστούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων που ακολουθούν αφού πρώτα εφαρμοστεί από μέρους σας η επιμεριστική ιδιότητα.

8- Εκτελέστε τις πράξεις.

\( \begin {array} {llll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} {   (-3 \cdot 2 + 4 \cdot 1)(2 \cdot 5 – 1 \cdot 6) } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} {  (-2 \cdot 1 + 4 \cdot 3)(-1 \cdot 1 – 6 \cdot 3)  }  \\[2ex] \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} {  (-6 \cdot 3 + 2 \cdot 7)(-4 \cdot 2 + 3 \cdot 3)  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} {   (8 \cdot 6 – 7 \cdot 7)(-6 \cdot 9 + 9 \cdot 7) } \\[2ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} {  (-12 \cdot 4 + 11 \cdot 4)(14 \cdot 3 – 3 \cdot 13)  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} { (16 \cdot 5 – 9 \cdot 9)(20 \cdot 5 – 11 \cdot 9) } \\[2ex] \large \color {#ff3333} { \textit { vii) }} \color {SteelBlue} {  (5 \cdot 6 -4 \cdot 8)(4 \cdot 4 – 3 \cdot 5) } &
\large \color {#ff3333} { \textit { viii) }} \color {SteelBlue} {  (-7 \cdot 4 + 5 \cdot 5)(-8 \cdot 3 + 7 \cdot 3)  } \\[2ex] \large \color {#ff3333} { \textit { ix) }} \color {SteelBlue} {  (-18 \cdot 6 + 5 \cdot 21)(12 \cdot 12 – 13 \cdot 13) } &
\large \color {#ff3333} { \textit { x) }} \color {SteelBlue} {  (16 \cdot 3 – 4 \cdot 12)(15 \cdot 15 + 11 \cdot 11) } &
\end{array}
\)

1- Να υπολογιστούν τα γινόμενα.

1. \( \color {SteelBlue} { \large 0,75 \cdot 12 } \)
2. \( \color {SteelBlue} { \large 0,25 \cdot 10 } \)
3. \( \color {SteelBlue} { \large 1,5 \cdot 4 } \)
4. \( \color {SteelBlue} { \large 3 \cdot 3,5 } \)
5. \( \color {SteelBlue} { \large 5,6 \cdot 2,7 } \)
6. \( \color {SteelBlue} { \large 3.05 \cdot 6,5 } \)
7. \( \color {SteelBlue} { \large 0,5 \cdot 3,9 } \)
8. \( \color {SteelBlue} { \large 5,6 \cdot 2,7 } \)
9. \( \color {SteelBlue} { \large 3,24 \cdot 1,8 } \)
10. \( \color {SteelBlue} { \large 10,2 \cdot 10,2 } \)

2- Να απλοποιηθούν τα γινόμενα.

1. \( \color {SteelBlue} { \large 4 (y + 2) – y } \)
2. \( \color {SteelBlue} {   \cfrac {  } {  }  \cdot  \cfrac {  } {  } } \)
3. \( \color {SteelBlue} {   \cfrac {  } {  }  \cdot  \cfrac {  } {  } } \)

https://www.math-drills.com/integers/integers_multiplication_-2020_-2020_0_all.pdf?v=1360984441

https://www.math-drills.com/integers/integers_all_operations_1515_ap_all.pdf?v=1360986601

Άσκηση 2

α) Να γραφούν οι αριθμητικές παραστάσεις που ακολουθούν ως μία δύναμη.

Υπόδειξη

Η διαδικασία επίλυσης να περιλαμβάνει τα εξής δύο βήματα:

Βήμα 1: Εφαρμόσετε τον ορισμό προκειμένου οι δυνάμεις να αναλυθούν αρχικά σε γινόμενα.

Βήμα 2: Τα γινόμενα να υπολογιστούν και να γραφούν εκ νέου σε μορφή μιας δύναμης.

Υποδειγματική Επίλυση

Βοηθητικές πράξεις

β1) Συνεχίστε συσχετίζοντας τις δυνάμεις που εμφανίζονται στην αρχική παράσταση και την πράξη που ζητείται να εκτελεστεί, με το τελικό αποτέλεσμα.

Τι παρατηρείτε;

β2) Διατυπώστε κανόνες που φαίνεται να ισχύουν γενικά στον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση δυνάμεων με την ίδια βάση.

γ) Εφαρμόστε τους κανόνες στην πράξη και γράψτε τις επόμενες παραστάσεις “κατευθείαν” ως μια δύναμη.

\( \begin {array} {cccc}
\color {Red} { \textbf{ Ε }   } & \hspace {40 mm}
\color {Red} { \textbf{ ΣΤ }   } & \hspace {40 mm}
\color {Red} { \textbf{ Ζ }   } & \hspace {40 mm}
\color {Red} { \textbf{ Η } }  \\[1ex] \color {SteelBlue} { 5^4 \cdot 5^2 }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-6)^5 \cdot (-6)^4 }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { 5^4 : 5^2 }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-6)^5 : (-6)^4 }  \\[3ex] \color {SteelBlue} { 4^8 \cdot 4^3  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-5)^3 \cdot (-5)^2  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { 4^8 : 4^3  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-5)^3 : (-5)^2  }   \\[3ex] \color {SteelBlue} { 7^{6} \cdot 7^{4}  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-9)^2 \cdot (-9)^2  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { 7^{6} : 7^{4}  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-9)^2 : (-9)^2  }   \\[3ex] \color {SteelBlue} { 8^3 \cdot 8^0  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-7)^7 \cdot (-7)^0  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { 8^3 : 8^0  }  & \hspace {40 mm}
\color {SteelBlue} { (-7)^7 : (-7)^0  }  \\[3ex] \end {array}
\)

Άσκηση 3

Να μετασχηματιστούν (αφού πρώτα αναλυθούν σε γινόμενα) οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις με τρόπο ώστε κάθε παράγοντας να εμφανίζεται ως ξεχωριστή δύναμη.

Υποδειγματική Επίλυση

Μια ιδότητα των δυνάμεων φαίνεται να “αναδεικνύεται” από τα παραπάνω παραδείγματα. Διατυπώστε την και εφαρμόστε την αμέσως παρακάτω.

Άσκηση 4

Να μετασχηματιστούν οι παρακάτω δυνάμεις με τρόπο ώστε ο εκθέτης να εμφανίζεται μία μόνο φορά.

Υπόδειξη

Αναλύστε αρχικά σε γινόμενα τις δυνάμεις εντός των παρενθέσεων και στη συνέχεια “υψώστε” κάθε γινόμενο στον δεύτερο εκθέτη.

Υποδειγματική Επίλυση

Συνεχίστε παρακάτω εκτελώντας τις λιγότερες δυνατές πράξεις. 

Επαναληπτική Άσκηση 1

Να υπολογιστούν οι δυνάμεις.

\( \begin {array} {l}
6^2    & \hspace {10 mm}
3^5    & \hspace {10 mm}
8^2    & \hspace {10 mm}
15^3    & \hspace {10 mm}
3^4    & \hspace {10 mm}
10^6    & \hspace {10 mm}
6^3    & \hspace {10 mm}
4^4    & \hspace {10 mm}
9^3  & \hspace {10 mm}
100^3  & \hspace {10 mm}
\end {array}
\)

Επαναληπτική Άσκηση 2

Να γραφούν ως μια δύναμη οι παραστάσεις.

\( \begin {array} {l}
17^2 \cdot 17^5  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 10^9 : 10^5 }   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 8^4 \cdot 9^4 }  & \hspace {20 mm}
( 2 \cdot 3 )^4    & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (9^3 \right)^5 }
\\[3ex] \color {SteelBlue} { 15^{6} \cdot 15^{6}  }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 16^8 : 16^7  }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 9^7 \cdot 8^7 }  & \hspace {20 mm}
( 4 \cdot 3 )^3   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (10^5 \right)^6 }  & \hspace {20 mm}
\\[3ex] \color {SteelBlue} { 10^9 \cdot 10^5 }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 18^{12} : 9^{12}  }  & \hspace {20 mm}
7^3 \cdot 9^3   & \hspace {20 mm}
(10 \cdot 2 )^3   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (14^3 \right)^2 }  & \hspace {20 mm}
\\[3ex] 2^7 \cdot 2^3    & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 10^5 : 10^3  }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 11^4 \cdot 9^4 }  & \hspace {20 mm}
( 3 \cdot 1 )^6  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (13^2 \right)^3 }  & \hspace {20 mm}
\\[3ex] \color {SteelBlue} { 1^{15} \cdot 1^{2}  }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 12^{3} : 12^{2}  } & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 16^7 \cdot 2^7 }    & \hspace {20 mm}
( 2 \cdot 4 )^8   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (3^2 \right)^5 }  & \hspace {20 mm}
\\[3ex] 2^3 \cdot 2^4   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 7^9 : 7^9  }  & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { 10^5 \cdot 1^5 }    & \hspace {20 mm}
(12 \cdot 3 )^2   & \hspace {20 mm}
\color {SteelBlue} { \left (11^2 \right)^1 }
\\[3ex] \end {array}
\)