↑ Return to Εξισώσεις

Η έννοια της εξίσωσης

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΕΠΙΠΕΔΟ 1ΑΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Θεωρία-Ορισμοίx+α=βx-α=βαx=βx:α=βα:x=βΠροβλήματαΒιβλιογραφία

Θεωρία – Ορισμοί

Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μία ισότητα, που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος).

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

Η διαδικασία, μέσω της οποίας, βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης, λέγεται επίλυση της εξίσωσης.

Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της.

Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει.

  • Άσκηση 1

    Στις εξισώσεις που ακολουθούν, να βρεθεί ο αριθμός που πρέπει να αντικαταστήσει τον άγνωστο, ώστε να επαληθεύονται οι ισότητες.

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { i) }} { x + 5 = 8 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} { x + 9 = 17  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} { x + 4 = 17 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} { x + 17 = 41  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} { y + 12 = 19 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} { y + 6 = 21  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vii) }} { y + 6 = 16 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { viii) }} { y + 11 = 22  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { ix) }} { ω + 16 = 44 } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { x) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 18 = 27 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xi) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 11 = 22 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xii) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 14 = 31 }  } \\[4ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { xiii) } }  \color {SteelBlue}  { z + 13 = 30 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xiv) } }  \color {SteelBlue}  { z + 15 = 27 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xv) } }  \color {SteelBlue}  { z + 18 = 45 }  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xvi) }}  \color {SteelBlue}  \large { z + 17 = 55  } \\[4ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { xvii) } }  \color {SteelBlue}  { w + 39 = 71 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xviii) } }  \color {SteelBlue}  { w + 57 = 96 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xiv) } }  \color {SteelBlue}  { w + 74 = 92 }  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xv) }} \large   \color {SteelBlue}  { w + 46 = 85  } \\[4ex] \end {array}
    \)

  • Άσκηση 2

    Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { i) }}  \color {SteelBlue} { x + 1,5 = 3,5 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }}  \color {SteelBlue} { x + 3 = 6,5  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }}  \color {SteelBlue} { x + 12,5 = 30 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { x + 24 = 40,5  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { y + 4,2 = 8 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vi) }}  \color {SteelBlue} {  2,6 + y = 10  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vii) }}  \color {SteelBlue} {  5,4 + 2,1 = y } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { viii) }}  \color {SteelBlue} {  y + 3,9 = 6   } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { ix) }}  \color {SteelBlue} { 5,9 + 4,1 = x } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { x) } }  \color {SteelBlue}  { x + 4,8 = 8,1 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xi) } }  \color {SteelBlue}  { 4,9 + y = 7,6 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { xii) } }  \color {SteelBlue}  { x + 4,2 = 5,9 }  }
    \end {array}
    \)

  • Βάσει των ορισμών των πράξεων η εξίσωση,  x – α = β έχει λύση την x = β + α.

    Παράδειγμα

    \( \color{SteelBlue} {x – 635 = 283 } \hspace {6 mm} \color{#ff6960} { \text { ή } } \hspace {6 mm} \color{#1e90ff} { x = 283 + 635 } \hspace {6 mm} \color{#ff6960} { \text { ή }} \hspace {6 mm} \color{#1e90ff} { x = 918 } \)

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { i) }} \large { x – 4 = 17 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \large { x – 17 = 4 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \large { x – 5 = 12 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \large { x – 12 = 15  } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} \large { r -8 = 10 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \large { s – 2 = 1 } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { vii) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 13 = 9 }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { viii) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 31 = 22 }  } \\[6ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { ix) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 17 = 0 }  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { x) }} \large { y – 4 = 3  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xi) }} \large { x – 19 = 32 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 87 = 19  }   \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xiii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 65 = 35 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xiv) }}  \color {SteelBlue}  { x – 51 = 32 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xv) }}  \color {SteelBlue}  { g – 25 = 22  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xvi) }}  \color {SteelBlue}  { x – 44 = 7 } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xvii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 36 = 13 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xviii) }}  \color {SteelBlue}  { z – 55 = 13  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xvii) }}  \color {SteelBlue}  { y – 28 = 17 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xviii) }}  \color {SteelBlue}  { ω – 33 = 34  }
    \end {array}
    \)

  • Άσκηση 2

    Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} { x – 2,5 = 2,5  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} { x – 4,5 = 0  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} { x – 1,5 = 6  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} { x – 5,5 = 9,5   } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} { y – 1,3 = 5  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} { y – 3,2 = 1,8  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { vii) } }  \color {SteelBlue}  { y – 5,6 = 4  }  } &
    \large { \color {#ff3333} { \textit  { viii) } }  \color {SteelBlue}  { y – 2,7 = 0,7  }  } \\[6ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { ix) } }  \color {SteelBlue}  { z – 9,4 = 1,6  }  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { x) }} {  z – 8,7 =  3,3 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xi) }} { x – 1,7 = 3,2 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xii) }} { x – 9,8 = 10,4  }   \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xiii) }} { x – 5,94 = 4,22 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xiv) }} { x – 14,29 = 25 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xv) }} { g – 5 = 2  } &
    \end {array}
    \)

  •  

  • Άσκηση 1

    Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

    \( \begin {array} {llllll}
    \color {#ff3333} { \textit { 1-i) }}  \color {SteelBlue} { 5x = 20 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 2-i ) }}  \color {SteelBlue} { 4x = 12  } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 3-i ) }}  \color {SteelBlue} { 6x = 48 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 4-i) }}  \color {SteelBlue} { 3x = 27 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 5-i) }} \color {SteelBlue} { 9x = 72  } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 6-i) }} \color {SteelBlue} { 2y = 58   } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 7-i) }} \color {SteelBlue} { 6y = 73  } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 8-i) }} \color {SteelBlue} { 8y = 96  } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 9-i) }} \color {SteelBlue} { 7y = 77  }  & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 10-i) }} \color {SteelBlue} { 1y = 99 }   & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 1-ii) }} \color {SteelBlue} { 3z = 57 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 2-ii) }} \color {SteelBlue} { 5z = 85 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 3-ii) }} \color {SteelBlue} { 7z = 91 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 4-ii) }} \color {SteelBlue} { 2z = 98  }  & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 5-ii) }} \color {SteelBlue} { 6z = 84 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 6-ii) }} \color {SteelBlue} { 9ω = 99 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 7-ii) }} \color {SteelBlue} { 0ω = 80 } & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 8-ii) }} \color {SteelBlue} { 4ω = 92 }  & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 9-ii) }} \color {SteelBlue} { 8ω = 80  }  & \hspace{15 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 10-ii) }} \color {SteelBlue} { 6ω = 90 } \\[6ex] \end {array}
    \)

  • Άσκηση 2

    Να λυθούν οι εξισώσεις.

    \( \begin {array} {llllll}
    \color {#ff3333} { \textit { 1-i) }} \large { 5g = 20 } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 2-i ) }} \large { 4q = 52  } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 3-i ) }} \large { 6x = 96 } &   \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 4-i) }} \large { 5g = 20 } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 5-i) }} \large { 0,05z = 1,4 } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 6-i) }} \large { 9π = πx } &   \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 7-i) }} \large { 1,3x = 5,2 } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 8-i) }} \large {  } & \hspace{25 mm}
    \color {#ff3333} { \textit { 9-i) }} \large {   }   \\[3ex] \end {array}
    \)

  •  

  • Άσκηση 1

    Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { i ) }}  \color {SteelBlue}  { x : 8 = 4 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii ) }}  \color {SteelBlue}   { x : 6 = 7 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii ) }}  \color {SteelBlue}   { p : 5 = 3 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv ) }}  \color {SteelBlue}   { y \div 7 = 1  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { v ) }}  \color {SteelBlue}  { m \div 4 = 6 } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { vi ) }}  \color {SteelBlue}   { a \div 1 = 2 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { vii ) }}  \color {SteelBlue}  { x : 8 = 4 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { viii ) }}  \color {SteelBlue}   { x : 6 = 7 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ix ) }}  \color {SteelBlue}   { p : 5 = 3 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { x ) }}  \color {SteelBlue}   { y \div 7 = 1  } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xi ) }}  \color {SteelBlue}  { \cfrac {x} {5} = 6 } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xii ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {4} = 8  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xiii ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {16} = 32  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xiv ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {8} = 8  } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { xv ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {9} =  1 }  \\[6ex] \end {array}
    \)

  • Άσκηση 1

    Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

    \( \begin {array} {lllll}
    \large \color {#ff3333} { \textit { Αi) }}  \color {SteelBlue} { 12 : x = 60   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue}  { 24 : x = 4   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue}  { 9 : x = 3   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { 30 : x = 3   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { 19 : x = 1   } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { Βi) }}  \color {SteelBlue} { 45 : x = 15   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue}  { 8 : x = 2   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue}  { 120 : x = 20   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { 16 : x = 4   } &
    \large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { 25 : x = 5   } &
    \end {array}
    \)

  • 1- Να γραφούν οι εξισώσεις που περιγράφουν τα παρακάτω προβλήματα και στην συνέχεια να επιλυθούν, προκειμένου να απαντηθεί το ερώτημα που κάθε φορά δίνεται.

    1. Το άθροισμα του διπλάσιου ενός αριθμού και του 21 δίνει 47.
    2. Αν αφαιρεθεί το 12 από το τριπλάσιο ενός αριθμού το αποτέλεσμα είναι 24.
    3. Έξι φορές το άθροισμα ενός αριθμού με το 17 δίνει ως αποτέλεσμα 138.
    4. Το εικοσαπλάσιο της διαφοράς του 11 από τον αμέσως μικρότερό του περιττό αριθμό είναι ίσο με 40.
    5. Το άθροισμα ενός αριθμού και 3 φορές το μισό του είναι 45.
    6.  Το μήκος μιας σημαίας είναι 3,2 μέτρα και αντιστοιχεί στο διπλάσιο του ύψους της. Ποιο είναι το ύψος της σημαίας;
    7. Αν πολλαπλασιάσουμε οκτώ φορές έναν αριθμό και προσθέσουμε ακόμη 2 το αποτέλεσμα είναι 5 φορές ο ίδιος ο αριθμός  μειον 3. Ποιος είναι ο αριθμός;

  • B. Να λυθούν τα προβλήματα που ακολουθούν.

     
    1. Να βρεις τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 360.
    2. Βρες το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό 1__75, ώστε αυτός να διαιρείται με το 3.
    3. Η διαφορά της ηλικίας του Αλέξη από τον μεγάλο αδελφό του είναι 11  χρόνια. Αν ο μεγάλος αδελφός είναι 46 ετών, πόσων ετών είναι ο Αλέξης;
    4. Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός εφήβου (ηλικία μεταξύ 12 και 17) είναι πολλαπλάσιο του 3 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 4. Ποια είναι η ηλικία του;
    5. Σ’ έναν διαγωνισμό του ΑΣΕΠ, κάθε υποψήφιος πρέπει να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση δίνονται 2 μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη αφαιρείται 1 μονάδα. Η βαθμολογία ενός υποψηφίου είναι 110 μονάδες. Πόσες οι σωστές του απαντήσεις και πόσες οι λανθασμένες;
    6. Ένας παραγωγός έφτιαξε 100 lt ξύδι και θέλει να το συσκευάσει σε μπουκάλια που χωράνε 0,75 lt. Να βρεις: (α) Πόσα μπουκάλια θα χρειαστεί, (β) Πόσα lt θα του περισσέψουν.
    7. Ο Νίκος και η Μαρία αγόρασαν ένα διαμέρισμα με έκπτωση 25% στην αρχική του τιμή. Μαζί με το σπίτι αγόρασαν και μια αποθήκη αξίας 13.000 ευρώ. Συνολικά πλήρωσαν 105.000 ευρώ. Ποια η αρχική τιμή του διαμερίσματος (τιμή πριν την έκπτωση);
    8. Ο Περικλής και ο Γιώργος ξεκίνησαν τρέχοντας από την Θεσσαλονίκη και την  Κατερίνη αντίστοιχα. Ο Περικλής καλύπτει απόσταση          Km την ώρα και ο Γιώργος             την ώρα. Αν η απόσταση Θεσσαλονίκης Κατερίνης είναι 70 Km σε πόσες ώρες οι δύο δρομείς θα συναντηθούν;
    9. Δύο συνεργεία καθαρισμού ακτών καθαρίζουν μία μεγάλη παραλία μήκους Κm. Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει  Κm και το δεύτερο συνεργείο  Κm, κάθε μέρα. Τα δύο συνεργεία εργάζονται, στα δύο άκρα της παραλίας, έως ότου συναντηθούν. Σε πόσες ημέρες θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισμό της παραλίας;

Βιβλιογραφία

  1. Algebra 1, Ron Larson and Laurie Boswell Texas Edition Big Ideas Learning 2015.
  2. Algebra, A Textbook for High School Students Studying Maths, Free High School Science Texts 2005.
  3. Basic Math } & Pre-Algebra For Dummies Mark Zegarelli 2007.
  4. PreAlgebra Malloy, Molix-Bailey, Price Willard, Glencoe McGraw-Hill 2008.
  5. PreAlgebra Parent Student Study Guide Workbook McGraw-Hill.
  6. Prealgebra Textbook Second Edition – Department of Mathematics College of the Redwoods 2012-2013.
  7. Prealgebra, Michelle A. Wyatt, Edition 5 2009. 
  8. The Free High School Science Texts- Textbooks for High School Students Studying the Sciences Mathematics Grades 10 – 12 2008.
  9. http://www.imath.co.za/Gr10Math/nr10M42leqfrac.html
  10. http://www.math-exercises.com/equations-and-inequalities.

Permanent link to this article: https://pervolischool.edu.gr/mathematics/%ce%b1%ce%bb%ce%b3%ce%b5%ce%b2%cf%81%ce%b1/%ce%b5%ce%be%ce%b9%cf%83%cf%8e%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82-2/%ce%b5%ce%be%ce%b9%cf%83%cf%8e%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82-%ce%ad%ce%bb%ce%b5%ce%b3%cf%87%ce%bf%cf%82/