Η έννοια της εξίσωσης

Άσκηση 1

Στις εξισώσεις που ακολουθούν, να βρεθεί ο αριθμός που πρέπει να αντικαταστήσει τον άγνωστο, ώστε να επαληθεύονται οι ισότητες.

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i) }} { x + 5 = 8 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} { x + 9 = 17  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} { x + 4 = 17 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} { x + 17 = 41  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} { y + 12 = 19 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} { y + 6 = 21  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vii) }} { y + 6 = 16 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { viii) }} { y + 11 = 22  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { ix) }} { ω + 16 = 44 } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { x) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 18 = 27 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xi) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 11 = 22 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xii) } }  \color {SteelBlue}  { ω + 14 = 31 }  } \\[4ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { xiii) } }  \color {SteelBlue}  { z + 13 = 30 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xiv) } }  \color {SteelBlue}  { z + 15 = 27 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xv) } }  \color {SteelBlue}  { z + 18 = 45 }  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xvi) }}  \color {SteelBlue}  \large { z + 17 = 55  } \\[4ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { xvii) } }  \color {SteelBlue}  { w + 39 = 71 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xviii) } }  \color {SteelBlue}  { w + 57 = 96 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xiv) } }  \color {SteelBlue}  { w + 74 = 92 }  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xv) }} \large   \color {SteelBlue}  { w + 46 = 85  } \\[4ex] \end {array}
\)

Άσκηση 2

Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i) }}  \color {SteelBlue} { x + 1,5 = 3,5 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }}  \color {SteelBlue} { x + 3 = 6,5  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }}  \color {SteelBlue} { x + 12,5 = 30 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { x + 24 = 40,5  } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { y + 4,2 = 8 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vi) }}  \color {SteelBlue} {  2,6 + y = 10  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vii) }}  \color {SteelBlue} {  5,4 + 2,1 = y } &
\large \color {#ff3333} { \textit { viii) }}  \color {SteelBlue} {  y + 3,9 = 6   } \\[4ex] \large \color {#ff3333} { \textit { ix) }}  \color {SteelBlue} { 5,9 + 4,1 = x } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { x) } }  \color {SteelBlue}  { x + 4,8 = 8,1 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xi) } }  \color {SteelBlue}  { 4,9 + y = 7,6 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { xii) } }  \color {SteelBlue}  { x + 4,2 = 5,9 }  }
\end {array}
\)

Βάσει των ορισμών των πράξεων η εξίσωση,  x – α = β έχει λύση την x = β + α.

Παράδειγμα

\( \color{SteelBlue} {x – 635 = 283 } \hspace {6 mm} \color{#ff6960} { \text { ή } } \hspace {6 mm} \color{#1e90ff} { x = 283 + 635 } \hspace {6 mm} \color{#ff6960} { \text { ή }} \hspace {6 mm} \color{#1e90ff} { x = 918 } \)

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i) }} \large { x – 4 = 17 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \large { x – 17 = 4 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \large { x – 5 = 12 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \large { x – 12 = 15  } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} \large { r -8 = 10 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \large { s – 2 = 1 } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { vii) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 13 = 9 }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { viii) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 31 = 22 }  } \\[6ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { ix) } }  \color {SteelBlue}  { ω – 17 = 0 }  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { x) }} \large { y – 4 = 3  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xi) }} \large { x – 19 = 32 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 87 = 19  }   \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xiii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 65 = 35 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xiv) }}  \color {SteelBlue}  { x – 51 = 32 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xv) }}  \color {SteelBlue}  { g – 25 = 22  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xvi) }}  \color {SteelBlue}  { x – 44 = 7 } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xvii) }}  \color {SteelBlue}  { x – 36 = 13 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xviii) }}  \color {SteelBlue}  { z – 55 = 13  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xvii) }}  \color {SteelBlue}  { y – 28 = 17 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xviii) }}  \color {SteelBlue}  { ω – 33 = 34  }
\end {array}
\)

Άσκηση 2

Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i) }} \color {SteelBlue} { x – 2,5 = 2,5  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue} { x – 4,5 = 0  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue} { x – 1,5 = 6  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }} \color {SteelBlue} { x – 5,5 = 9,5   } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { v) }} \color {SteelBlue} { y – 1,3 = 5  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vi) }} \color {SteelBlue} { y – 3,2 = 1,8  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { vii) } }  \color {SteelBlue}  { y – 5,6 = 4  }  } &
\large { \color {#ff3333} { \textit  { viii) } }  \color {SteelBlue}  { y – 2,7 = 0,7  }  } \\[6ex] \large { \color {#ff3333} { \textit  { ix) } }  \color {SteelBlue}  { z – 9,4 = 1,6  }  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { x) }} {  z – 8,7 =  3,3 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xi) }} { x – 1,7 = 3,2 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xii) }} { x – 9,8 = 10,4  }   \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xiii) }} { x – 5,94 = 4,22 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xiv) }} { x – 14,29 = 25 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xv) }} { g – 5 = 2  } &
\end {array}
\)

Άσκηση 1

Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

\( \begin {array} {llllll}
\color {#ff3333} { \textit { 1-i) }}  \color {SteelBlue} { 5x = 20 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 2-i ) }}  \color {SteelBlue} { 4x = 12  } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 3-i ) }}  \color {SteelBlue} { 6x = 48 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 4-i) }}  \color {SteelBlue} { 3x = 27 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 5-i) }} \color {SteelBlue} { 9x = 72  } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 6-i) }} \color {SteelBlue} { 2y = 58   } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 7-i) }} \color {SteelBlue} { 6y = 73  } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 8-i) }} \color {SteelBlue} { 8y = 96  } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 9-i) }} \color {SteelBlue} { 7y = 77  }  & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 10-i) }} \color {SteelBlue} { 1y = 99 }   & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 1-ii) }} \color {SteelBlue} { 3z = 57 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 2-ii) }} \color {SteelBlue} { 5z = 85 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 3-ii) }} \color {SteelBlue} { 7z = 91 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 4-ii) }} \color {SteelBlue} { 2z = 98  }  & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 5-ii) }} \color {SteelBlue} { 6z = 84 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 6-ii) }} \color {SteelBlue} { 9ω = 99 } \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 7-ii) }} \color {SteelBlue} { 0ω = 80 } & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 8-ii) }} \color {SteelBlue} { 4ω = 92 }  & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 9-ii) }} \color {SteelBlue} { 8ω = 80  }  & \hspace{15 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 10-ii) }} \color {SteelBlue} { 6ω = 90 } \\[6ex] \end {array}
\)

Άσκηση 2

Να λυθούν οι εξισώσεις.

\( \begin {array} {llllll}
\color {#ff3333} { \textit { 1-i) }} \large { 5g = 20 } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 2-i ) }} \large { 4q = 52  } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 3-i ) }} \large { 6x = 96 } &   \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 4-i) }} \large { 5g = 20 } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 5-i) }} \large { 0,05z = 1,4 } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 6-i) }} \large { 9π = πx } &   \\[6ex] \color {#ff3333} { \textit { 7-i) }} \large { 1,3x = 5,2 } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 8-i) }} \large {  } & \hspace{25 mm}
\color {#ff3333} { \textit { 9-i) }} \large {   }   \\[3ex] \end {array}
\)

Άσκηση 1

Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { i ) }}  \color {SteelBlue}  { x : 8 = 4 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii ) }}  \color {SteelBlue}   { x : 6 = 7 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii ) }}  \color {SteelBlue}   { p : 5 = 3 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv ) }}  \color {SteelBlue}   { y \div 7 = 1  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { v ) }}  \color {SteelBlue}  { m \div 4 = 6 } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { vi ) }}  \color {SteelBlue}   { a \div 1 = 2 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { vii ) }}  \color {SteelBlue}  { x : 8 = 4 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { viii ) }}  \color {SteelBlue}   { x : 6 = 7 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ix ) }}  \color {SteelBlue}   { p : 5 = 3 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { x ) }}  \color {SteelBlue}   { y \div 7 = 1  } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { xi ) }}  \color {SteelBlue}  { \cfrac {x} {5} = 6 } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xii ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {4} = 8  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xiii ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {16} = 32  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xiv ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {8} = 8  } &
\large \color {#ff3333} { \textit { xv ) }}  \color {SteelBlue}   { \cfrac {x} {9} =  1 }  \\[6ex] \end {array}
\)

Άσκηση 1

Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

\( \begin {array} {lllll}
\large \color {#ff3333} { \textit { Αi) }}  \color {SteelBlue} { 12 : x = 60   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue}  { 24 : x = 4   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue}  { 9 : x = 3   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { 30 : x = 3   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { 19 : x = 1   } \\[6ex] \large \color {#ff3333} { \textit { Βi) }}  \color {SteelBlue} { 45 : x = 15   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { ii) }} \color {SteelBlue}  { 8 : x = 2   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iii) }} \color {SteelBlue}  { 120 : x = 20   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { iv) }}  \color {SteelBlue} { 16 : x = 4   } &
\large \color {#ff3333} { \textit { v) }}  \color {SteelBlue} { 25 : x = 5   } &
\end {array}
\)

B. Να λυθούν τα προβλήματα που ακολουθούν.

1. Να βρεις τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 360.
2. Βρες το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό 1__75, ώστε αυτός να διαιρείται με το 3.
3. Η διαφορά της ηλικίας του Αλέξη από τον μεγάλο αδελφό του είναι 11  χρόνια. Αν ο μεγάλος αδελφός είναι 46 ετών, πόσων ετών είναι ο Αλέξης;
4. Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός εφήβου (ηλικία μεταξύ 12 και 17) είναι πολλαπλάσιο του 3 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 4. Ποια είναι η ηλικία του;
5. Σ’ έναν διαγωνισμό του ΑΣΕΠ, κάθε υποψήφιος πρέπει να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση δίνονται 2 μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη αφαιρείται 1 μονάδα. Η βαθμολογία ενός υποψηφίου είναι 110 μονάδες. Πόσες οι σωστές του απαντήσεις και πόσες οι λανθασμένες;
6. Ένας παραγωγός έφτιαξε 100 lt ξύδι και θέλει να το συσκευάσει σε μπουκάλια που χωράνε 0,75 lt. Να βρεις: (α) Πόσα μπουκάλια θα χρειαστεί, (β) Πόσα lt θα του περισσέψουν.
7. Ο Νίκος και η Μαρία αγόρασαν ένα διαμέρισμα με έκπτωση 25% στην αρχική του τιμή. Μαζί με το σπίτι αγόρασαν και μια αποθήκη αξίας 13.000 ευρώ. Συνολικά πλήρωσαν 105.000 ευρώ. Ποια η αρχική τιμή του διαμερίσματος (τιμή πριν την έκπτωση);
8. Ο Περικλής και ο Γιώργος ξεκίνησαν τρέχοντας από την Θεσσαλονίκη και την  Κατερίνη αντίστοιχα. Ο Περικλής καλύπτει απόσταση          Km την ώρα και ο Γιώργος             την ώρα. Αν η απόσταση Θεσσαλονίκης Κατερίνης είναι 70 Km σε πόσες ώρες οι δύο δρομείς θα συναντηθούν;
9. Δύο συνεργεία καθαρισμού ακτών καθαρίζουν μία μεγάλη παραλία μήκους Κm. Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει  Κm και το δεύτερο συνεργείο  Κm, κάθε μέρα. Τα δύο συνεργεία εργάζονται, στα δύο άκρα της παραλίας, έως ότου συναντηθούν. Σε πόσες ημέρες θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισμό της παραλίας;