↑ Return to ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Συμμετρία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ – ΕΠΙΠΕΔΟ 1ΑΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕισαγωγήΆξονας ΣυμμετρίαςΜεσοκάθετοςΣυμμετρία ως προς σημείοΚέντρο συμμετρίαςΣύγκριση γωνιών

Δεν έχετε πρόσβαση στο περιεχόμενο του μαθήματος!!!!!!!!

Δεν έχετε πρόσβαση στο περιεχόμενο του μαθήματος!!!!!!!!

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

  • Ορισμός

    Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη προς αυτό και διέρχεται από το μέσον του.

    Προτάσεις –συνεπεία ορισμού

    κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος έχει ίσες αποστάσεις (ισαπέχει) από τα άκρα του.

    κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετό του.

    η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι άξονας συμμετρίας του.

  • Nα σχεδιαστεί η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με τη βοήθεια του υποδεκάμετρου και του γνώμονα.

     

    Λύση

    Προσδιορίζουμε το μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με το υποδεκάμετρο και στη συνέχεια με τον γνώμονα σχεδιάζουμε την ευθεία ε, που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στο ΑΒ.

     

    Να σχεδιαστεί η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, χωρίς τη βοήθεια του υποδεκάμετρου και του γνώμονα, αλλά μόνο με τη χρήση “του κανόνα και του διαβήτη”.

     

    Λύση

    Γνωρίζουμε ότι η μεσοκάθετος, όπως κάθε ευθεία, ορίζεται από δύο σημεία και ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

    Για να σχεδιάσουμε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ πρέπει να βρούμε δύο σημεία που να ισαπέχουν από τα Α και Β. Γράφουμε, λοιπόν, δύο ίσους κύκλους με κέντρα τα άκρα Α και Β του ευθυγράμμου τμήματος και με ακτίνα r (μεγαλύτερη από το μισό μήκος του ΑΒ, για να τέμνονται).

    Τα σημεία Γ και Δ, στα οποία τέμνονται οι δύο κύκλοι ορίζουν την ευθεία που είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, διότι δύο σημεία της, τα Γ και Δ, απέχουν εξίσου από τα άκρα Α και Β, αφού είναι ΓΑ = ΓB = ρ και ΔA = ΔB = ρ.

    Mε την κατασκευή της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, βρήκαμε με ακρίβεια και το μέσο Μ, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε υποδεκάμετρο.

    Να κατασκευαστεί ευθεία δ κάθετη σε ευθεία ε στο σημείο της Α.

     

    Λύση

    Γράφουμε κύκλο με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα, που τέμνει την ε σε δύο σημεία Γ και Δ. Επειδή το Α είναι μέσο του ΓΔ, αρκεί να φέρουμε τη μεσοκάθετο του ΓΔ που διέρχεται από το μέσο του Α και είναι κάθετη στην ε.

    Να κατασκευαστεί η κάθετη δ μιας ευθείας ε από σημείο Α εκτός αυτής.

     

    Λύση

    Γράφουμε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα τέτοια ώστε να τέμνει την ε σε δύο σημεία Γ και Δ. Επειδή το Α ισαπέχει από τα Γ και Δ, θα είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος ΓΔ. Επομένως, αρκεί να φέρουμε, με τον τρόπο που μάθαμε στην εφαρμογή 2, τη μεσοκάθετο του ΓΔ που διέρχεται από το Α.

    Nα κατασκευαστεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α.

     

    Λύση

    Γράφουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = α. Με κέντρα τα άκρα Β και Γ και ακτίνα ίση με α γράφουμε δύο κύκλους. Έστω Α το ένα σημείο από τα δύο που τέμνονται οι κύκλοι αυτοί.

    Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο ισόπλευρο, διότι έχει όλες τις πλευρές του ίσες με α, ως ακτίνες ίσων κύκλων ακτίνας α.

  • Nα χαράξεις ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσεις σε δύο ίσα τμήματα και στη συνέχεια σε τέσσερα ίσα τμήματα.

     

    Σχεδίασε έναν κύκλο και μια ακτίνα του ΚΑ. Βρες δύο σημεία του κύκλου, που το καθένα να ισαπέχει από τα Κ και Α.

     

     

    ΕικόναΣτο σχήμα η καμπύλη γραμμή γ παριστά τμήμα της διαδρομής του αστικού λεωφορείου. Οι κάτοικοι των οικισμών Α και Β αποφάσισαν να κατασκευάσουν μια στάση, που να απέχει εξίσου από τους δύο οικισμούς. Βρες το κατάλληλο σημείο της διαδρομής και δικαιολόγησε τη λύση που θα δώσεις.

     

    Να βρεις το σημείο της όχθης ενός ποταμού το οποίο ισαπέχει από δύο χωριά Α και Β.

     

    Σχεδίασε ένα τρίγωνο και βρες με ακρίβεια τα μέσα των πλευρών του.

     

    Σχεδίασε έναν κύκλο με κέντρο Κ και μια χορδή του ΑΒ. Να κατασκευάσεις τη μεσοκάθετο της χορδής ΑΒ και να ονομάσεις Μ και Ν τα σημεία στα οποία τέμνει τον κύκλο. (α) Σύγκρινε τις χορδές ΜΑ και ΜΒ και δικαιολόγησε το αποτέλεσμα της σύγκρισης, (β) κάνε το ίδιο και για τις χορδές ΝΑ και ΝΒ, (γ) βρες εάν το κέντρο Κ του κύκλου είναι σημείο της μεσοκαθέτου και δικαιολόγησε την απάντησή σου.

     

    Σχεδίασε τις μεσοκάθετες τριών χορδών ενός κύκλου και εξέτασε αν υπάρχει σημείο στο σχήμα σου, από το οποίο να διέρχονται και οι τρεις μεσοκάθετες.

     

    Στο σχήμα βρες εκείνο το σημείο της ε, που να ισαπέχει από τα σημεία Α και Β. Εικόνα

ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ


  • ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

    Να βρεθεί το συμμετρικό Α’ του σημείου Α, ως προς σημείο Ο.

    Λύση

    Προσδιορίζουμε το μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με το υποδεκάμετρο και στη συνέχεια με τον γνώμονα σχεδιάζουμε την ευθεία ε, που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στο ΑΒ.

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α’Β’ ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ως προς σημείο Ο.

    Λύση

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό ως προς σημείο Ο μιας ευθείας ε.

    Λύση

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό ως προς σημείο Ο μιας ημιευθείας Αx.

    Λύση

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα μιας γωνίας xÂy ως προς σημείο Ο.

     

    Λύση

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α’Β’Γ’ ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς σημείο Ο, το οποίο (α) είναι εκτός τριγώνου, (β) βρίσκεται εντός του τριγώνου και (γ) είναι μία κορυφή του.

    Λύση

     

    Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα ενός κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημείο Ο.

    Λύση

     

  • Εικόνα1. Να κατασκευάσεις τα συμμετρικά Β’, Μ’ και Γ’ των Β, Μ και Γ αντίστοιχα ως προς το Α και να δικαιολογήσεις ότι το Μ’ είναι μέσο του Β’Γ’. (Το Μ είναι το μέσο της ΒΓ).

     

     

    2. Να σχεδιάσεις τρίγωνο ΑΒΔ και το συμμετρικό Γ της κορυφής του Α ως προς το μέσον Ο της πλευράς ΒΔ. Πώς μπορείς να χαρακτηρίσεις το τετράπλευρο ΑΒΓΔ;

Δεν έχετε πρόσβαση στο περιεχόμενο του μαθήματος!!!!!!!!

Δεν έχετε πρόσβαση στο περιεχόμενο του μαθήματος!!!!!!!!

Permanent link to this article: http://pervolischool.edu.gr/mathematics/%ce%b3%ce%b5%cf%89%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%b9%ce%b1/%cf%83%cf%85%ce%bc%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b1/