ΣΤ – Υπολογισμοί Παραστάσεων

Διδακτικοί Στόχοι 
Μετά το τέλος της ενότητας ο μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

  • να

Μάθημα 1οΜάθημα 2ο
 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ – ΕΝΟΤΗΤΑ Α- ΣΤΟΙΒΑ

Μάθημα 1ο – Υπολογισμός Σειρών


Διδακτικοί Στόχοι
Μετά το τέλος του μαθήματος ο μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

  • να


  • Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855), ο επονομαζόμενος Πρίγκιπας των Μαθηματικών, ήταν παιδί-θαύμα. Μια μέρα του 1780, όταν ήταν τριών ετών, καθόταν στο σκαλί της εξώπορτα του πατρικού σπιτιού στο Μπράουνσβαϊκ κι έπαιζε. Μέσα στο σπίτι, ο πατέρας του, ο Γκέμπχαρντ, αρχιτεχνίτης λιθοξόος, πλήρωνε τα μεροκάματα των εργατών του.

    «Λοιπόν», έλεγε σ’ έναν εργάτη, «έχουμε 34 και 29 και 19 πένες, το όλον… 76». Καμία αντίρρηση από τον εργάτη. Όση αριθμητική ήξερε το αφεντικό του, άλλη τόση (και λιγότερη) ήξερε κι ο ίδιος. Αλλά ο Καρλ είχε άλλη γνώμη. Σηκώθηκε όρθιος και είπε:

    «Πατέρα, κάποιο λάθος έχει γίνει. Πρέπει να είναι 82 πένες».

    Ο πατέρας του ξαφνιάστηκε (δυσάρεστα), αλλά ξανάκανε την πρόσθεση πιο προσεκτικά. 82 πένες. Είχε δίκιο το νήπιο! Ο Γκέμπχαρντ κοίταξε τον γιο του σκεπτικός. Δεν χαιρόταν με την εξυπνάδα του. Δεν ήταν καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος. Ποτέ δεν είναι καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος.

    Πέντε χρόνια αργότερα, ο Καρλ πήγαινε στη δευτέρα δημοτικού. Ο δάσκαλός του, ο κύριος Μπίτνερ, είχε να κάνει ζάφτι περίπου 100 μαθητές (αγόρια, εννοείται) και συχνά-πυκνά, για να κρατάει την τάξη, έκανε χρήση τής πολύ πειστικής βέργας του.

    Μια μέρα, δύσκολη χωρίς αμφιβολία, είπε να τους βάλει να κάνουν μια εργασία μπελαλίδικη, έτσι ώστε να βρει την ησυχία του.

    «Να προσθέσετε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100. Όποιος τελειώνει να φέρνει την πλάκα του στην έδρα και να τη βάζει ανάποδα», τους είπα και πήγε κι έκαστε σίγουρος ότι για τουλάχιστον μία ώρα είχε γλιτώσει από τους σατανάδες.

    Δεν πέρασαν πέντε λεπτά και ο Καρλ σηκώθηκε, πήγε στην έδρα και ακούμπησε εκεί την πλάκα του ανάποδα. Ο κύριος Μπίτνερ συννέφιασε. Ήταν βέβαιος ότι ο μικρός τον δούλευε και του το είπε, αλλά ο Καρλ δήλωσε με σθένος ότι είχε λύσει την άσκηση σωστά. Τον άφησε να γυρίσει στη θέση του, σκεπτόμενος ότι όταν ερχόταν η ώρα θα μιλούσε η βέργα. Από περιέργεια, κρυφοκοίταξε το χαρτάκι με τον αποτέλεσμα που είχε στην τσέπη του:  5.050. Μετά γύρισε την πλάκα του Καρλ: 5.050! Μα πώς;! Και ούτε πράξεις στην πλάκα ούτε τίποτα, μόνο εκείνο το 5.050, σκέτο.

    (Ο Γκάους γενικά δεν εξηγούσε λεπτομερώς στις αποδείξεις του το πώς πήγε από το Α στο Β. Ήταν εξαιρετικά λιτός στην εξήγηση των βημάτων. Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν ήταν περισσότερο αναλυτικός, έτσι ώστε να διευκολύνει τους αναγνώστες του, έλεγε: «Όταν οι χτίστες τελειώνουν έναν καθεδρικό ναό, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για να φανερωθεί το κτίσμα σε όλο του το μεγαλείο».)

    Στο σχόλασμα, ο δάσκαλος κράτησε τον Καρλ και τον ρώτησε:

    «Πώς τα κατάφερες και έκανες την πρόσθεση τόσο γρήγορα;»

    «Δεν έκανα πρόσθεση».

    «Αλλά;»

    «Σκέφτηκα λιγάκι ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και βρήκα κάτι ενδιαφέρον. Από τις άκρες προς τα μέσα, τα ζεύγη έδιναν το ίδιο άθροισμα: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 και τα λοιπά, μέχρι το 50+51=101. Είχα δηλαδή 50 ζεύγη με επιμέρους άθροισμα 101. Αντί να κάνω πρόσθεση, έκανα πολλαπλασιασμό: 50×101=5.050».

    Οχτώ χρονών!

    Ο κύριος Μπίτνερ τον άφησε να φύγει και αργότερα πήγε και βρήκε τον Γκέμπχαρντ Γκάους για να του πει ότι μεγάλωνε μια ιδιοφυία. Ο γερο-Γκάους δεν εντυπωσιάστηκε γιατί για κείνον μόνο η χειρονακτική δουλειά είχε νόημα. Τελικά, όμως, ο Καρλ βρήκε τον δρόμο του και, αντί να γίνει λιθοξόος όπως ονειρευόταν ο πατέρας του, έγινε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.

    [Αυτές οι δύο ιστορίες αναφέρονται σχεδόν σε όλες τις βιογραφίες του Γκάους (ενδεικτικά μία ελληνική έκδοση: M.B.W. Tent, «Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών», μετάφραση: Στάμος Τσιτσώνης, Τραυλός 2007) και σε πολλές εκλαϊκευτικές ιστορίες των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαιο ότι έχουν συμβεί στην πραγματικότητα, αλλά αυτό –ως γνωστόν– δεν έχει απολύτως καμία σημασία.]

  • Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

    1. \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + Ν \)
    2. \( 1 + \cfrac{1} {2} +\cfrac{1} {3} + \cfrac{1} {4} + …… + \cfrac{1} {Ν} \)
    3. \( 1 + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + ……. + N^{2} \)
    4. \( 1 + 2^{2} + 3^{3} + 4^{4} + ……. + N^{Ν} \)
    5. \( 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …… + Ν \)

    Λέξεις κλειδιά: h.

  • ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ findSum1(Ν): ΑΚΕΡΑΙΑ
    ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
    ΑΚΕΡΑΙΕΣ: Ν, i, Sum
    ΑΡΧΗ
    Sum <- 0
    ΓΙΑ i ΑΠΟ 1 ΜΕΧΡΙ Ν
    Sum <- Sum + i
    ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
    findSum1 <- Sum
    ΤΕΛΟΣ_ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

  • ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥπολογισμοίΠαραστάσεων
    ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
    ΑΚΕΡΑΙΕΣ: Ν, S
    ΑΡΧΗ
    ΔΙΑΒΑΣΕ Ν
    S <- findSum1(Ν)
    ΤΕΛΟΣ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ findSum1(Ν): ΑΚΕΡΑΙΑ
    ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
    ΑΚΕΡΑΙΕΣ: Ν, i, Sum
    ΑΡΧΗ
    Sum <- 0
    ΓΙΑ i ΑΠΟ 1 ΜΕΧΡΙ Ν
    Sum <- Sum + i
    ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
    findSum1 <- Sum
    ΤΕΛΟΣ_ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

  • Να γραφεί συνάρτηση που θα υπολογίζει το γινόμενο
    \( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ………. \cdot N \)

  • ….

  • N = int ( input ( ) )
    Sum = 0
    for i in range ( 1, N + 1, 1 ):
        Sum = Sum + i
        print (i,’+ ‘,end = ”)   #Η επόμενη print τυπώνει στην ίδια γραμμή
    print (‘ = ‘, Sum)


    N = int ( input ( ) )
    Sum = 0
    for i in range (1, N + 1, 1):
        Sum =  Sum + 1/i
        print ( ‘1 /’,i, ‘+ ‘ , end =” )     #Η επόμενη print τυπώνει στην ίδια γραμμή
    print ( ‘ = ‘ ,Sum )   

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ – ΕΝΟΤΗΤΑ Β- ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Μάθημα 2ο – Ανάλυση Αριθμού σε Γινόμενο Πρώτων Παραγόντων


Διδακτικοί Στόχοι
Μετά το τέλος του μαθήματος ο μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

  • να

  •  Να γραφεί αλγόριθος που θα δέχεται έναν ακέραιο αριθμό και θα τον αναλύει σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

    Υπόδειξη: Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος.

    Λέξεις κλειδιά: h.

  • Αριθμητικό παράδειγμα

    Ο αριθμός 3780 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής:

    \( 3780 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)

  • ….

Σειρά 1ηΣειρά 2ηΣειρά 3ηΣειρά 4ηΣειρά 5ηΣειρά 6ηΣειρά 7ηΣειρά 8ηΔιήγησηΔύναμηΠαραγοντικό


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα διάβαζει έναν αριθμό Ν και θα υπολογίζει τη σειρά


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα διάβαζει έναν αριθμό Ν και να υπολογίζει τη σειρά


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα υπολογίζει σε ποιο όρο το άθροισμα γίνεται μεγαλύτερο του .


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα υπολογίζει σε πόσες επαναλήψεις το άθροισμα γίνεται μεγαλύτερο του .


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα διάβαζει έναν αριθμό (μεγαλύτερο του 0) και να υπολογίζει τη σειρά

    μέχρι να ξεπεράσει την τιμή του αριθμού αυτού και να εκτυπώνει το πλήθος των επαναλήψεων που χρειάστηκαν.


  • ..


  • Να γραφεί αλγόριθμος για τον υπολογισμό της παράστασης


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα διάβαζει έναν αριθμό Ν και να υπολογίζει τη σειρά


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα υπολογίζει την ακόλουθη σειρά με τελευταίο όρο αυτόν που δεν θα ξεπερνάει την τιμή 0.00001 και να εκτυπώνει το πλήθος των επαναλήψεων που χρειάστηκαν.

     


  • ..


  • Ο πρώτος κάτοικος αφηγήθηκε την ιστορία την πρώτη μέρα σε δύο φίλους του. Την επόμενη μέρα καθένας απ’ αυτούς την είχε διηγηθεί σε άλλους δύο. Την επόμενη μέρα αυτοί οι δύο είχαν διηγηθεί την ιστορία σε ακόμη δύο και έτσι συνεχίστηκε για 10 ημέρες. Γράψτε αλγόριθμο που θα υπολογίζει πόσοι άνθρωποι άκουσαν την ιστορία.


  • ..


  • Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα διάβαζει έναν αριθμό και έναν ακέραιο αριθμό και θα υπολογίζει το (με τη χρήση επαναληπτικής δομής).


  • ..


  • Το παραγοντικό ενός αριθμού, έστω κ υπολογίζεται ως το γινόμενο των αριθμών από το 1 έως το κ αν το κ είναι αριθμός θετικός και μεγαλύτερος του μηδενός. Στην περίπτωση που ο κ είναι μηδέν το παραγοντικό του είναι ίσο με 1. Να γραφεί συνάρτηση υπολογισμού του παραγοντικού ενός αριθμού. Συμβολίζεται με κ!.


    Έστω ότι πρέπει να υπολογίσουμε το 5!. Είναι 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5
    !0 = 1


  • ..

ΗμίτονοΣυνημίτονοΕκθετική


  • Η παρακάτω σειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του τριγωνομετρικού αριθμού του ημιτόνου μιας γωνίας εκφρασμένης σε ακτίνια (rad) από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή.

    \( ημx = x – \cfrac { x^ { 3 } } { 3! } +  \cfrac { x^{ 5 } } { 5! } –  \cfrac { x^ { 7 } } { 7! } + … \)

    Ο τελευταίος όρος της σειράς είναι αυτός που μεταβάλει την τιμή του ημιτόνου λιγότερο από ένα εκατομμυριοστό.

  • ..


  • Η παρακάτω σειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του τριγωνομετρικού αριθμού του ημιτόνου μιας γωνίας εκφρασμένης σε ακτίνια (rad) από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή.

    \( συν = 1 – \cfrac { x^ { 2 } } { 2! } +  \cfrac { x^ {4 } } { 4! } –  \cfrac { x^{ 6 } } { 6! } + …  \)

    Γράψτε πρόγραμμα που θα διαβάζει μια γωνία x σε μοίρες και:

    α) θα καλεί κατάλληλο υποπρόγραμμα που θα μετατρέπει την γωνία x σε ακτίνια.

    β) θα υπολογίζει με την βοήθεια συνάρτησης το συνημίτονο της γωνίας σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο. Για τον υπολογισμό του συνημιτόνου εργαστείτε ως εξής:

    β1) αρχικά θα κατασκευάσετε συνάρτηση με όνομα Παραγοντικό η οποία θα υπολογίζει το παραγοντικό ενός οποιουδήποτε αριθμού.

    β2) στη συνέχεια θα κατασκευάσετε την συνάρτηση υπολογισμού του συνημιτόνου η οποία και θα καλεί την συνάρτηση υπολογισμού του παραγοντικού στο κατάλληλο σημείο.

    β3) οι υπολογισμοί σταματούν όταν δυο διαδοχικές τιμές συνημιτόνου που έχουν υπολογιστεί διαφέρουν μεταξύ τους λιγότερο από ένα εκατομμυριοστό.

  • ..

  • από 0 μέχρι 180

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο


  • …………………….

  • ..

Permanent link to this article: http://pervolischool.edu.gr/computer-science/algorithms/%ce%b4%ce%bf%ce%bc%ce%ae-%ce%b5%cf%80%ce%b1%ce%bd%ce%ac%ce%bb%ce%b7%cf%88%ce%b7%cf%82/%cf%83%cf%84-%cf%85%cf%80%ce%bf%ce%bb%ce%bf%ce%b3%ce%b9%cf%83%ce%bc%ce%bf%ce%af-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%cf%83%cf%84%ce%ac%cf%83%ce%b5%cf%89%ce%bd/